НАУКА, РОЖДЕННАЯ ИСКУССТВОМ
Некто предложил известному механику и математику Пьеру Вариньону (1654—1722) следующую задачу: выяснить, как следует посадить два прямолинейных ряда деревьев, чтобы наблюдателе расположившийся в определенном месте, видел их равноотстоящими друг от друга, т. е. параллельными, на всем протяжении. Вариньон задачи не решил, но благодаря его имени она стала популярной. Достаточно точное решение этой задачи было найдено Пьером Бугером (1698—1758) и заключалось оно в следующем: для посадки деревьев следует взять такие прямолинейные ряды, для которых изображения а, совмещенной с плоскостью кажущейся приподнятости поверхности земли, были бы параллельны между собой при проектировании из точки зрения S наблюдателя .
Кажущаяся приподнятость поверхности земли при зрительном восприятии объясняется физическим эффектом в атмосфере, называемым рефракцией. Угол приподнятости зависит от условий наблюдения, в частности, от высоты точки зрения, и может быть определен. Пусть So — основание перпендикуляра, опущенного из точки S на горизонтальную плоскость земли у (она называется точкой стояния наблюдателя), a SR (6"у) — прямая, параллельная плоскости п. Рассмотренная задача о посадке деревьев служит изящной иллюстрацией того несколько банального факта, что между представлениями о мире, получаемыми с помощью чувств осязания и зрения, взятыми в отдельности, имеются существенные различия. Быть может об этой задаче никто бы сейчас и не вспомнил, если бы сама ее постановка не наводила на мысли о построении особой «зрительной» геометрии. В буквальном переводе с древнегреческого слово «геометрия» означает «землемерие». Эта этимология непосредственно указывает на источник, породивший науку геометрию — на практические измерения, производить которые человека заставляли сами условия его жизни. Геометрические понятия возникли в результате абстрагирования от конкретных пространственных форм и от сравнения их с помощью измерений. Что касается последних, то их выполнение явно или неявно предполагает деятельное участие осязания. Кусок веревки может быть измерен в локтях, в саженях, в футах, в других веревках, принятых за единицу длины. Мартышка из мультфильма «38 попугаев» быстро сообразила, что удава можно измерить и в словенках, и в мартышках, и в попугаях, и еще в чем угодно, лишь бы только то «что угодно» было под руками и без особых усилий поддавалось бы перемещению вдоль тела удава (как известно, из трех предложенных мартышкой масштабов — «слоненок», «мартышка», «попугай»—удаву больше всего понравился последний, поскольку в этом случае удав был наиболее длинным — его длина равнялась 38 попугаям). Итак, важнейшее понятие евклидовой геометрии — понятие длины — есть порождение осязательного опыта. Такой же вывод можно сделать и относительно другого важнейшего понятия геометрии — понятия параллельности прямых. Первоначально параллельные прямые ассоциировались с двумя длинными веревками, расположенными так, что расстояния точек одной из них до второй равны между собой на всем протяжении. При этом условии веревки не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. В то же время параллельные прямые далеко не всегда кажутся параллельными. Чаще всего они представляются пересекающимися, хотя и достаточно далеко.
Уже такой простой анализ приводит к выводу о том, что должны существовать по крайней мере две принципиально различные геометрии — геометрия «осязательная», т. е. обычная, евклидова, под которой здесь и всюду далее понимается геометрия, изучаемая в школе, и геометрия «зрительная». Что касается «зрительной» геометрии, основанной на монокулярном зрении, то впервые четкое определение этой науки было дано французским математиком, механиком и инженером Жаном Виктором Понселе (1788—1867) в его основополагающем «Трактате о проективных свойствах фигур» (1822 г.). «Зрительную» геометрию Понселе назвал проективной, поскольку центральное проектирование является математической моделью монокулярного зрения. Проективная геометрия, согласно Понселе, должна изучать только проективные свойства геометрических фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся (говорят еще — остаются инвариантными) при всевозможных центральных проектированиях, в совокупность которых включены и параллельные проектирования.
По определению, данному Понселе, проективная геометрия выступает лишь как особая часть евклидовой геометрии. Дальнейшее развитие проективной геометрии показало, что, подобно евклидовой геометрии, она также может быть построена на определенной системе аксиом. Сущность аксиоматического метода вполне раскрывается в школьном курсе геометрии. Вначале вводятся в рассмотрение основные понятия, которые не определяются и, вообще говоря, в нашем воображении могут связываться с любыми объектами, реально существующими, или же возникшими в результате абстрагирования от предметов реального мира. К примеру, если к основным понятиям некоторой теории относится точка, то представлять этот объект можно и как след на бумаге от очень тонко заостренного карандаша, и как некоторое действительное число, и как прямую линию и т. д. С прямой линией может ассоциироваться и длинная туго натянутая струна, и многочлен второй степени, и световой луч и пр.